Скачать учебники

Тикунов В. С. Геоинформатика. Математические алгоритмы, используемые для ЦМР.

Скачать полную версию учебника (с рисунками, формулами, картами, схемами и таблицами) одним файлом в формате MS Office Word Скачать книгу

Математические алгоритмы, используемые для ЦМР. Создание ЦМР и пересчет их из одного вида в другой базируется на использовании математического аппарата. От правильного его применения зависит не только адекватность построенной модели, но и оптимальность затрат ресурсов машинной памяти и времени вычисления.

Среди основных групп алгоритмов выделяют:
- вычисление отметок высот в произвольных точках по исходному множеству нерегулярно расположенных точек;
- вычисление отметок высот в произвольных точках по исходным точкам, заданным триангуляцией Делоне;
- вычисление отметок высот в произвольных точках по исходным точкам, заданным на матрице высот.

Следует заметить, что в любом случае при вычислении отметки точки мы вынуждены пользоваться алгоритмами интерполяции (значения, получаемые в исходных точках, совпадают с истинными абсолютно точно) или аппроксимации (значения, получаемые в исходных точках, совпадают с истинными с некоторой степенью точности).
Еще одной особенностью выбора метода приближения является степень его локализации. Можно воспользоваться одной формулой приближения для всей изучаемой территории (глобальный алгоритм) или менять формулу приближения по мере изменения аргументов (кусочно-локальный алгоритм).
Выбор этих параметров алгоритма зависит от качества исходных данных (нет необходимости решать более сложную задачу интерполяции, если качество исходных данных невысоко) и наших познаний о рельефообразующих процессах (если на территории рельефообразование связано с совокупностью нескольких слабосвязанных процессов, то естественно использовать кусочно-локальный алгоритм).
Итак, в общем случае восстановление значений функций в промежуточных точках выполняется с использованием некоторых вспомогательных функций Z= F(x,y), которые в свою очередь являются суммами некоторой совокупности базисных функций:

Формула (доступно при скачивании полной версии книги)

Чаще всего базисными функциями являются простейшие полиномы:

Формула (доступно при скачивании полной версии книги)

В случае интерполяции коэффициенты а1, а2 а3, ... определяются из условий

Формула (доступно при скачивании полной версии книги)

В случае аппроксимации это условие заменяется на условие приближенного равенства, чаще всего приближение по методу наименьших квадратов, т.е. коэффициенты а1, а2 а3, ... , определяются из условий

Формула (доступно при скачивании полной версии книги)

Для глобального алгоритма используются все исходные точки а для локального — некоторые их подмножества, попадающие в заданные области.
Рассмотрим некоторые примеры таких алгоритмов.

Локальный интерполяционный алгоритм, построенный на триангуляции Делоне. Через три точки в пространстве проходит плоскость, уравнение которой является многочленом первой степени по своим переменным.
Уравнение этой плоскости может быть записано через определитель следующим образом:

Формула (доступно при скачивании полной версии книги)

Метод скользящего окна (локальный интерполяционный алгоритм). Для получения значения z в точке с координатами х, у выполним следующий алгоритм.
1. Выберем из исходных точек те, которые расположены на плоскости аргументов на расстоянии, меньшем чем заданная величина R от точки с координатами (х,у). Обозначим номера этих точек t1, t2, ..., ti.
2. Если координаты одной из исходных точек, например точки (хр,ур), совпадают с координатами (х,у), то положим z = zp.
3. В противном случае вычислим z по формуле

Формула (доступно при скачивании полной версии книги)

Метод весового среднего или модифицированный метод скользящего окна (локальный аппроксимационный алгоритм). Для получения значения z в точке с координатами х, у выполним следующий алгоритм.
1. Выберем из исходных точек т те, которые расположены на плоскости аргументов ближе других от точки с координатами (х,у). Обозначим номера этих точек t1, t2, ..., tm.
2. Вычислим z по формуле

Формула (доступно при скачивании полной версии книги)

Глобальный интерполяционный алгоритм. Используется для восстановления значений функции в точке (х,у) по множеству всех п исходных точек с использованием многочлена, число членов которого равно числу исходных точек.
В этом случае для определения коэффициентов многочлена необходимо решить систему п уравнений с п неизвестными:

Формула (доступно при скачивании полной версии книги)

Глобальный аппроксимационный алгоритм. Применяется для восстановления значений функции в точке (х,у) по множеству всех п исходных точек с использованием многочлена, число членов которого (k) не равно числу исходных точек. Коэффициенты определяются исходя из принципа наименьших квадратов:

Формула (доступно при скачивании полной версии книги)

Решение этой задачи эквивалентно решению следующей системы & линейных уравнений с к неизвестными аи а2, а3, ..., аk:

Формула (доступно при скачивании полной версии книги)

Естественно, что здесь приведены только некоторые примеры из большого многообразия алгоритмов, используемых в различных задачах восстановления значений рельефа (функций) по множеству исходных точек, полученных в результате измерений.

< Точность ЦМР. Типы цифровых моделей рельефа.

Содержание книги "Тикунов В. С. Геоинформатика."

Использование цифровых моделей рельефа (ЦМР). >

Скачать полную версию учебника (с рисунками, формулами, картами, схемами и таблицами) одним файлом в формате MS Office Word Скачать книгу

При копировании информации обязательны прямые ссылки на сайт, а также на авторов книг.
Все книги являются собственностью их авторов и служат исключительно для ознакомления.
© Edu-Knigi.ru, 2011. © Дизайн и программирование от студии "ПСГ".